MODELOS DE ENSEÑANZA DE LA DERIVADA:
UN BREVE RESUMEN
DERIVATIVE
TEACHING MODELS: A BRIEF SUMMARY
[1]Alexander Alberto Calderón Torres
Orcid:
0000-0002-3978-4813
ctorresaa@ucvvirtual.edu.pe
[2] Juana Doris Blas Rebaza
Orcid: 0000-0001-8254-4674
brebazajd@ucvvirtual.edu.pe
[3]Juan
Pedro Soplapuco-Montalvo.
Orcid:
0000-0003-4631-8877
smontalvojp@ucvvirtual.edu.pe
Resumen
Este artículo pretende mostrar un
breve resumen de los principales modelos de enseñanza de la derivada con la
finalidad de servir de sustrato para construcción de modelos propios basándose
en los referentes brindados; los hallazgos son directamente obtenidos de la
literatura consultada, permitiendo diseñar elementos conceptuales tras la
lectura que den paso a la creatividad del lector a fin de que establezca un
modelo propio, cumpliendo con los indicadores necesarios de un breve resumen,
donde algunos elementos educativos solo se construyen a partir de teorías como
las aquí formuladas. De este modo, con el fin de abordar y mitigar la
dificultad del aprendizaje del cálculo diferencial, específicamente la
enseñanza de la derivada y tras la revisión propuesta se afirma que uno de los
modelos más efectivos es el heurístico de Polya puesto que aún se sigue
enseñando bajo su enfoque y con resultados adecuados, esto en particular en
ingeniería.
Palabras clave: Modelos didácticos, derivada.
Abstract
This article aims to show a brief summary of the main teaching models of
the derivative in order to serve as a substrate for the construction of own
models based on the references provided; The findings are directly obtained
from the consulted literature, allowing the design of conceptual elements after
reading that give way to the creativity of the reader in order to establish their
own model, complying with the necessary indicators of a brief summary, where
some educational elements are only they build from theories such as those
formulated here. In this way, in order to address and mitigate the difficulty
of learning differential calculus, specifically the teaching of the derivative
and after the proposed revision it is stated that one of the most effective
models is the Polya heuristic since it is still being taught under his approach
and with adequate results, this in particular in engineering.
Keywords: Didactic models, derivative.
Introducción
En la actualidad, América Latina es
testigo de algunas modificaciones dentro de la enseñanza de la matemática y
calculo con sus respectivas áreas temáticas. Estas áreas temáticas son
emergentes sobre matemáticas educativas, y a la vez temas de diálogo y
reflexión. Provienen de campos profesionales y científicos para buscar
fundamentos teóricos que puedan incidir en su mejoramiento y aplicación a la
docencia (Pérez, 2018). Paralelamente,
existen varios esfuerzos donde se trabaja arduamente para implementar los
lineamientos de política económica y social de los países, que requieren
acciones para mejorar la calidad y ampliar la PEA y lograr el mejor uso de las
capacidades de las personas cada día. En este sentido la calidad de la
formación de los ingenieros es de especial preocupación. Uno de los aspectos
según algunos autores (Bueno, 2018) es promover el desarrollo de la
investigación científica, social y humanística en temas sociales prioritarios.
Considerando que la tendencia
docente en muchas universidades de la región que pretende dedicar la mayor
parte de las actividades al aprendizaje de reglas de cálculo sin apoyarse en la
comprensión de conceptos, investigadores como Azcárate y Cols (1997) enfatizaron
la importancia de utilizar múltiples representaciones en la definición de
derivada por citar el ejemplo más connotado, en este sentido puede ser gráfica,
digitales y algebraicos, para que se puedan conectar y corresponder las
categorías de la aplicación de la derivada una a una, y de esa manera lograr
una rica representación psicológica que refleje muchos aspectos relacionados
con el concepto. Por lo general, la tarea de convertir entre diferentes
sistemas de presentación de la aplicación de la derivada se minimiza en la
enseñanza, lo que crea una limitación en la compresión. Duval (1998) afirmó que
el uso de diferentes representaciones es fundamental para el desarrollo de
ideas y la producción de conocimiento.
Diferentes autores apoyan esta idea
y señalan que entender conceptos matemáticos significa convertir entre
diferentes registros de representación, lo que se manifiesta en la posibilidad
de movilización y expresión entre ellos (Rico, 2000; D'Amore, 2002). En este
sentido, el propósito de este trabajo es revisar brevemente algunos métodos y
modelos teóricos, que pueden proporcionar referencias para el desarrollo de
modelos adecuados a las condiciones locales para tener un mejor desempeño en la
enseñanza del cálculo diferencial y la aplicación de la derivada.
Materiales y métodos
El método utilizado para este breve
abordaje es cuantitativo, mientras que su tipo se define como descriptiva y
esencialmente bibliográfica. El tipo de investigación diseñado para tal es de
carácter teórico correspondiéndose al bibliográfico con técnica de fichaje y
análisis documental, centrado en la referencia sobre la enseñanza de la
derivada en las universidades.
Resultados
La enseñanza del cálculo diferencial
e integral en la formación inicial de las ingenierías sostiene un principal
objetivo que es preparar a las personas para la vida, en el tránsito de
estudiar carreras universitarias de ciencia y tecnología y estimular la
creatividad (D´Ambrósio, 2002). Específicamente, el cálculo es un terreno
fértil para la creatividad y es un campo propicio para la expresión de
conjeturas, el razonamiento inductivo, la argumentación y el proceso deductivo
(Fischbein, 1994).
El cálculo gira principalmente en
torno a dos conceptos: variación y acumulación. En los siglos XVII y XVIII, fue
vital para el desarrollo de la ciencia. Sin embargo, a principios del siglo
XIX, la preocupación de la comunidad académica por el rigor creció tanto que
los métodos actuales se centran más en la formalización que en el desarrollo de
ideas y métodos reales destinados a resolver problemas y temas de carácter
científico (Ímaz y Moreno, 2009). De esta manera, su enseñanza se ve empujada
entre dos extremos: una enseñanza muy formal que atrae definiciones, teoremas y
problemas estándar, o abandona conceptos en cursos y libros de texto, y una
enseñanza limitada al uso o aplicación centrada en la relación de ejercicios
(Cuevas y Pluvinage, 2009). Con base en lo anterior, exigir una adecuada
enseñanza del cálculo e integral en la formación inicial de los ingenieros es
propicia para la adquisición de sus habilidades de desarrollo profesional. Por
ello, es necesario plantearse preguntas sobre el programa de aplicación para
que los futuros ingenieros puedan utilizarlo, descubrirlo, explorarlo y
desarrollarlo. Este es un equilibrio entre forma e intuición.
A la fecha, diversos informes de
investigación en revistas profesionales continúan demostrando la necesidad de
reconsiderar la enseñanza del cálculo para superar la limitada comprensión de
sus conceptos y procedimientos. La investigación ha pasado de sugerir
dificultades a sugerir alternativas basadas en nuevas estrategias de enseñanza.
Utilizar nuevas herramientas técnicas para reforzar o descubrir ideas
matemáticas; desarrollar y utilizar diferentes marcos teóricos; realizar
investigaciones cualitativas en un grupo reducido de personas, e incluso
formular una secuencia de enseñanza que incida en el currículo, y llevarla a
cabo en todo el grupo de estudiantes en formación de ingeniería. Sin pretender
ser muy exhaustivos, hemos seleccionado algunos artículos para ilustrar este
trabajo, con el objetivo de brindar una muestra de las tendencias actuales en
las que se piensa que el análisis ha pasado de cuestionar las enseñanzas a
Cuestionar qué enseñar, aunque hasta cierto punto con cierta reserva.
De esta forma, incluimos el trabajo
del curso de cálculo tradicional reportado por Zhang (2003): en un curso de 150
a 350 estudiantes, donde se muestra que los profesores dan conferencias
formales para difundir conocimientos, mientras que los estudiantes observan y
escuchan pasivamente, donde toman notas y reciben información. En dos
semestres, cubrieron contenido tradicional: funciones, secuencias, límites,
continuidad, derivadas y diferenciación, integrales, ecuaciones diferenciales y
series. En la transmisión de esta información, el maestro es el ente directriz
y el alumno es el receptor pasivo de la información que posee el maestro. Zhang
reporta que pocos estudiantes intentan aprender cálculo cuando se encuentran
por primera vez con esta forma de enseñanza, piensan que el cálculo es
abstracto, aburrido y difícil de aprender. Señaló que la investigación muestra
que las estrategias de enseñanza centradas en el maestro tienen inconvenientes
porque no permiten un ambiente de aprendizaje positivo., esto ha disminuido el
interés de los estudiantes, que en la mayoría de los casos han sustituido los
estudios superficiales y se han centrado en la memoria y la reproducción. Zhang
presento experiencias de enseñanza de cálculo en la Universidad de Sídney,
Australia; muchas de las cuales pretende proponer a China para mejorar la
calidad de la enseñanza del cálculo utilizando una estrategia de enseñanza
centrada en el estudiante.
Zhang solo cuestionó un detalle como
álgido que va en el sentido de cómo este contenido debería acercarse a los
estudiantes. Dijo que al final, "el objetivo principal del curso es dotar
a los estudiantes de los conceptos y teorías del cálculo, para que comprendan
el pensamiento matemático y desarrollen su capacidad de pensar de forma lógica,
profunda y creativa" (Zhang, 2003). Continuando con esta línea de
pensamiento la innovación es importante y la tecnología informática puede y de
hecho es una poderosa herramienta para comprender la aplicación de la derivada
y muchos otros elementos Desde nuestro punto de vista, la tecnología
informática se puede introducir en la enseñanza para resolver este problema al
principio: los libros de texto tradicionales van acompañados de mejores
imágenes, y en el aula se utiliza una calculadora para escanear. Mostrar el
mismo contenido; y a la vez cómo mostrar el mismo contenido de manera diferente
y atractiva. Según algunos autores (Moreno-Armella, Hegedus y Kaput, 2008) la
evolución de los recursos tecnológicos brinda una nueva perspectiva teórica
para estudiar el potencial de la didáctica docente para emplear los entornos
tecnológicos dinámicos continuos, que son la etapa final de dicho desarrollo.
En las fases anteriores se encuentran métodos de cálculo estático para
determinar las respuestas al comportamiento humano y las Spreadsheets
(formularios electrónicos), que representan métodos discretos y dinámicos en
los que "puede existir la colaboración entre el usuario y el entorno.
Nosotros valoramos los recursos
informáticos dinámicos discretos, porque al tener en cuenta la investigación de
Gordon y Gordon (2007) se visualizó la idea de utilizar datos para ajustar
funciones para ayudar a los estudiantes a descubrir los teoremas básicos del
cálculo y aplicaciones de la derivada. Su motivación radica en la forma en que
se introduce estos algoritmos en los cursos tradicionales, donde una función de
área se introduce como una integral definida y los estudiantes la encuentran a
veces respuesta no tan explícita a nivel didáctico por el profesor. Gordon y
Gordon en su estudio no comentaron sobre la experiencia del uso de hojas de
cálculo para realizar investigaciones de teoremas en los estudiantes, pero
creen firmemente que el problema de aprender teoremas puede solucionarse
utilizando recursos informáticos para obtener valores numéricos y luego
equiparlos con funciones matemáticas. Finalmente, se expresa una latente
preocupación por las representaciones tradicionales que llevaron al contenido:
“Por supuesto, una vez descubierta o inducida la “fórmula”, se puede recurrir
al argumento algebraico restringido para probar formalmente el resultado”.
Todavía se tiene la impresión de que el método de inducción del teorema no es
un método tradicional, pero la expresión formal del resultado debe
desarrollarse formalmente, como si esto estuviera verificando a su vez el
método de enseñanza.
Estos autores Gordon y Gordon (2007)
presentaron un caso en el que la gestión de recursos técnicos proporciona una
alternativa innovadora para presentar cierto contenido matemático. Los métodos
y métodos de enseñanza se han modificado en cierta medida; sin embargo, la
exactitud de los resultados matemáticos aún puede demostrarse mediante su
expresión formal y rigurosa. Asimismo, al analizar las fuentes referenciales de
modelos didácticos encontramos el trabajo de Thompson y Silverman (2007) para
ilustrar la aplicación de los hallazgos de naturaleza cognitiva. Estos
investigadores consideraron algunas de las dificultades para documentar
funciones como conceptos de proceso. Su investigación tiene como objetivo
determinar cuáles son los mecanismos por los cuales los estudiantes comprendan
el cálculo: centrándose en la dificultad de la acumulación. Creen que a los
estudiantes les cuesta pensar en lo que se acumula cuando no pueden
conceptualizar lo que se acumula; siendo emergente la expresión matemática de la
función acumulativa tiene tantas partes cambiantes (como x, t, f (t), F (x))
que la dificultad para comprender y usar el símbolo es natural. El estudiar las
ideas de Thompson y Silverman se analiza un diseño cuidadoso propuesto de una
alternativa a la enseñanza del cálculo en consideración de los aspectos
cognitivos, el cual emplea un discurso coherente entre los estudiantes, en el
que los conceptos de derivación (tasa de cambio) e integral (acumulativo)
conceptualizan en la relación entre funciones como la tasa de cambio de
cantidad, acumulación de cantidad, modelo, límite, antiderivada, uniformidad y
convergencia puntual, y la relación entre funciones de dos o más variables.
Este modelo reconoce que, aunque se necesita más trabajo para desarrollar
instrucciones para este propósito, creemos que, como se describe en este
capítulo, el foco en la función de acumulación será el centro (Thompson y
Silverman, 2007).
A pesar de estar en un nivel
progresista ideas y modelos importantes han calado profundamente en la
didáctica de la matemática y en la enseñanza del cálculo; uno de los más
notables es la propuesta de Polya. La investigación heurística se basa en la
investigación pionera del matemático húngaro George Polya (1887-1985), quien
dedicó la mayor parte de su carrera investigadora a desarrollar teorías
heurísticas para resolver problemas matemáticos y describirlos en detalle.
Logrando generar el método heurístico. En el desarrollo de métodos heurísticos,
el foco está en el análisis y la síntesis, y naturalmente partimos del método
de análisis y luego sintetizamos, como dijo Polya: "El análisis es
invención, la síntesis es ejecución". Como escribió Polya en su libro ya
clásico; y como explica en la frase “existe una tendencia entre los matemáticos
la cual es en el estudio de métodos heurísticos”. Como lo señala Polya (1986) que “las
matemáticas presentan dos caras: por un lado, son la ciencia rigurosa de
Euclides, pero también son algo más. Las matemáticas presentadas a la manera
euclidiana aparecen como una ciencia sistemática, deductiva; pero las
Matemáticas en vía de formación aparecen como una ciencia experimental,
inductiva “. Es en este sentido es necesario fundamentar que los modelos
heurísticos pretenden constituir rutas algorítmicas para poder resolver
asertivamente problemas matemáticos el desarrollo de habilidades para
solucionar problemas relacionados con la aplicación de la derivada. El resolver
estos problemas ha sido el culmen de la formación en inducción que los
ingenieros necesitan para solventar ya problemas de su propia especialidad.
Discusión
Los métodos heurísticos a menudo
proponen estrategias para guiar el descubrimiento del conocimiento, Polya nos
brinda una sugerencia que puede extenderse a varios campos especializados de
las matemáticas e incluso puede hacer grandes contribuciones a otros campos del
conocimiento y campos del conocimiento. En resumen, el método heurístico que
propone Polya ante un problema se puede dividir en 4 pasos: 1. Resumir sin
comprender el problema. 2. Haga un plan. 3. Haga un plan y resuelva el
problema. 4. Verifique el problema y su solución, es decir, mire hacia atrás.
Polya dijo que para entender una teoría hay que saber cómo se descubrió, por
eso su enseñanza enfatiza el proceso de descubrimiento de conocimientos a la
hora de resolver problemas.
La teoría de Müller (Puig y Cerdan,
1996) estima por ejemplo que debemos considerar que antes de resolver el
problema, debemos considerar los principios y reglas heurísticas, de esta forma
utilizar los recursos a utilizar (estrategias heurísticas) para resolver
adecuadamente los diversos problemas de nuestra realidad. problema. La teoría
de Horst Müller se basa en la metodología científica y es aplicable a
diferentes disciplinas científicas. Ha establecido principios, reglas,
estrategias y procedimientos para ayudar a encontrar soluciones a los
problemas, pero ningún algoritmo puede resolverlos. problema. solución. El
método o proceso heurístico propuesto por Müller es: establece recomendaciones
para descubrir o encontrar directamente el conocimiento de solución;
proporciona medios o recursos y soluciones, lo cual aproxima al concepto
manejado por Polya. El énfasis aquí está en la analogía y la reducción
(modelado matemático). Reglas heurísticas: Se ejecutan como impulsos generales
para un proceso de búsqueda, y son especialmente útiles para encontrar
soluciones (mecanismos, recursos, métodos). La estrategia heurística permite
llevar a cabo actuar como un recurso organizativo para el proceso de solución
de los problemas de la derivada, especialmente útil para encontrar la forma de
resolver estas situaciones. Logramos identificar como la clave de la estrategia
el diseñar un proceso de resolución que se inicie con la información (datos)
dada, la cual debe conducir a la solución del problema, algunas personas lo expresan
como un supuesto del problema.
Conclusión
Se puede concluir que esta revisión
esboza brevemente diversas teorías y modelos que permiten establecer los
parámetros necesarios para la enseñanza de la derivada en las universidades,
entre estas teorías y modelos, el modelo heurístico de Polya es el más
significativo. Modelo, ya que nos aproxima la investigación de estructuras
metodológicas y docencia con más medida a la realidad concreta.
Referencias bibliográficas
Azcárate, C. & Cols. (1997).
Cálculo diferencial e integral. España: Síntesis
Bueno, S; Pérez, O. 2018. La
idoneidad epistémica del concepto función real de una variable real en carreras
de ingenierías. Revista Educación Matemática. 30(2), 202-231.
Cuevas, C. y Pluvinage, F. (2009).
Cálculo y tecnología. Revista el Cálculo y su Enseñanza, 1, 45-59. Recuperado
de http://mattec.matedu.cinvestav.mx/el_calculo/index.php?vol=1&index_web=7&index_mgzne
D´Amore, B. (2002). La complejidad
de la noética en matemática como causa de la falta de devolución. Revista TED
de la Universidad Pedagógica de Bogotá. Colombia
D’Ambrósio, U. (2002). A matemática
nas escolas. Educação Matemática em Revista, 9(11), 29-33.
Duval, R. (1998). Registros de
representación semiótica y funcionamiento cognitivo del Pensamiento. En HITT,
F. (Ed.). Investigaciones en Matemática Educativa II. pp. 173-201. Grupo
Editorial Iberoamérica: México. Traducción de: Registres de représentationsémiotique
et functionnementcognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences
Cognitives. Vol. 5 (1993).
Fischbein, E. (1994). The
interaction between the formal, the algorithmic, and the intuitive components
in a mathematical activity. En R. Biehler., R. Scholz., R. Strässer y B.
Winkelmann (Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (pp.
231-245). Recuperado
de https://www.researchgate.net/profile/Rudolf_Straesser/publication/227113904_Cultural_Framing_of_Teaching_and_Learning_Mathematics/links/0deec5231ab119d511000000.pdf#page=242
Gordon, S.
P. & Gordon, F. S. (2007). Discovering the fundamental theorem of
calculus. Mathematics Teacher 100 (9), 597–604.
Ímaz, C y Moreno, L. (2009). Sobre
el desarrollo del cálculo y su enseñanza. Revista el Cálculo y su Enseñanza, 1,
99-112. Recuperado de http://mattec.matedu.cinvestav.mx/el_calculo/index.php?vol=1&index_web=7&index_mgzne
Moreno–Armella,
L., Hegedus S. & Kaput, J. (2008). From static to dynamic mathematics:
historical and representational perspectives. Educational Studies in Mathematics
68, 99– 111.
Pérez, O. 2018. La Matemática
Educativa en Camagüey: incidencia social de un programa de maestría. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 21(2), 125-130.
Polya, G. (1986). Cómo plantear y
resolver problemas. México: Trillas
Puig, L. (1998). El estilo
heurístico de resolución de problemas. Universidad de Valencia. España
Puig, L. y Cerdan, F. (1996). Un
curso de heurística matemática para la formación del profesorado. Revista de
didáctica de las matemáticas. España
Rico, L. (2000). Sobre las nociones
de representación y comprensión en la investigación en Educación Matemática. IV
Simposio SEIEM. Huelva. España.
Thompson, P. W. & Silverman, J.
(2007). The concept of accumulation in calculus. In M. Carlson
& Rasmussen (Eds.), Making the
connection: Research and teaching in undergraduate mathematics (pp.117–131).
Washington D.C.: Mathematical Association of America.
Zhang, B.
(2003). Using student–centered teaching strategies in calculus. In M. Peat
(Ed.), The China papers: Tertiary
science and mathematics teaching for the 21st century 2, 100–103
[1] Magister en docencia
universitaria e investigación educativa.
[2] Magister en docencia
universitaria e investigación educativa.
[3] Doctor en Ciencias de la Educación, Maestro en Docencia Universitaria e
Investigación Educativa, Licenciado en Educación, por la Universidad Nacional
Pedro Ruiz Gallo de Lambayeque, Perú.
Docente de la Escuela de Posgrado de la Universidad Cesar Vallejo,
Chiclayo. Email:
smontalvojp@ucvvirtual.edu.pe, Cel.949570072, ORCID:
https://orcid.org/0000-0003-4631-8877, Google académico:
https://scholar.google.com/citations?user=Z6cSZVgAAAAJ&hl=es